Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=4，点E、F分别为AB和PD的中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ，

∵点E、F分别为AB和PD的中点，底面ABCD为菱形，

∴FQ =AE，∴FQ AE，

∴四边形AEQF是平行四边形，

∴AF∥EQ，

∵AF平面PEC，EQ平面PEC，

∴由线面平行的判定定理得直线AF∥平面PEC

（2）解：以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

P（0，0，4），E（2 ，0，0），C（0，4，0），

=（2 ，0，﹣4）， =（﹣2 ，4，0），

设平面PEC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=2，得 =（2， , ），

∴面PEC的法向量

同理得面PAD的法向量 ，

设所求二面角为α，则 ，

∴ ．

故平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值为 ．

【解析】（1）取PC中点Q，连接EQ，FQ，推导出四边形AEQF是平行四边形，从而AF∥EQ，由此能证明直线AF∥平面PEC．（2）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法平面PAD与平面PEC所成锐二面角的正切值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．