Question

9．已知椭圆$E：\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l₁与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
（I）若直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

Answer 1

分析 （I）由题意，直线l₁的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）直线y=k（x-1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k_AM=k_MN，A，M，N三点共线．

解答 解：（I）由题意可知：右焦点F（1，0），E（5，0），M（3，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线l₁的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则k=1，
直线l₁的方程y=x-1，即x=y+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{x=y+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：9y²+8y-16=0．
则y₁+y₂=-$\frac{8}{9}$，y₁y₂=-$\frac{16}{9}$，
△ABM的面积S，S=$\frac{1}{2}$•丨FM丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{9}$，
∴△ABM的面积S的值$\frac{8\sqrt{10}}{9}$；
（Ⅱ）证明：设直线l₁的方程为y=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0．
则x₁+x₂=$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$，
直线BN⊥l于点N，则N（5，y₂），
由k_AM=$\frac{-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$，k_MN=$\frac{{y}_{2}}{2}$，
而y₂（3-x₁）-2（-y₁）=k（x₂-1）（3-x₁）+2k（x₁-1）=-k[x₁x₂-3（x₁+x₂）+5]，
=-k（$\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-3×$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$+5），
=0，
∴k_AM=k_MN，
∴A，M，N三点共线．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．