题目内容
4．某单位实行休年假制度三年以来，10名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：| 休假次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 人数 | 1 | 2 | 4 | 3 |
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析 （1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，推出η=4或η=5，然后求解概率即可．
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．
解答 解：（1）函数f（x）=x2-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，
则必有$\left\{\begin{array}{l}{f（4）＜0}\\{f（6）＞0}\end{array}\right.$即：$\left\{\begin{array}{l}{16-4η-1＜0}\\{36-6η-1＞0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{15}{4}＜η＜\frac{35}{6}$
所以，η=4或η=5 …（3分）
当η=4时，P1=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{15}$，当η=5时，${P_2}=\frac{C_4^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{15}$
η=4与η=5为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式
所以 $P={P_1}+{P_2}=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}$…（6分）
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，…（7分）
于是$P（{ξ=0}）=\frac{C_2^2+C_4^2+C_3^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，$P（{ξ=1}）=\frac{C_2^1+C_2^1C_4^1+C_4^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{22}{45}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{C_4^1+C_2^1C_3^1}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{9}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$ …（10分）
从而ξ的分布列：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | $\frac{2}{9}$ | $\frac{22}{45}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{15}$ |
点评 本题考查离散性随机变量的分布列的期望的求法，函数的零点判判断定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
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