Question

记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

Answer 1

①③④

若，根据 
当n=1时，x₂=[]=3, 同理x₃=, 故①对.
对于②③④可以采用特殊值列举法：
当a=1时，x₁="1," x₂="1," x₃=1, ……x_n=1,  …… 此时②③④均对.
当a=2时，x₁="2," x₂="1," x₃=1, ……x_n=1,  …… 此时②③④均对
当a=3时，x₁="3," x₂="2," x₃=1, x₄=2……x_n=1, ……此时③④均对
综上，真命题有 ①③④ .
[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.