Question

6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，AD=1，E、F分别是AA₁和BB₁的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．
（Ⅰ）求三棱锥B₁-EBC的体积；
（Ⅱ）作出长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面（只要作出，说明结果即可）；
（Ⅲ）求证：GF∥平面EB₁C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${S}_{△{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}B{B}_{1}×BC=1$，点E到平面B₁BC的距离为AB=$\sqrt{3}$，由此能求出三棱锥B₁-EBC的体积．
（Ⅱ）取AD的中点M，连结EM，MC，则EMCB₁是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面．
（Ⅲ）设MC∩DB=N，连结B₁N，推导出FG∥B₁N，由此能证明GF∥平面EB₁C．

解答 解：（Ⅰ）∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{3}$，AA₁=2，AD=1，
E、F分别是AA₁和BB₁的中点，G是DB上的点，且DG=2GB，
∴${S}_{△{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}B{B}_{1}×BC=1$，
点E到平面B₁BC的距离为AB=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥B₁-EBC的体积V=$\frac{1}{3}$×${S}_{△{B}_{1}BC}$×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅱ）取AD的中点M，连结EM，MC，
则EMCB₁是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁被平面EB₁C所截的截面．
证明：（Ⅲ）设MC∩DB=N，连结B₁N，
依题意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{DM}{BC}=\frac{1}{2}$，
又∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，
又∵B₁F=FB，∴FG∥B₁N，
∵FG?平面EB₁C，∴B₁N?平面EB₁C，
∴GF∥平面EB₁C．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查截面的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要  认真审题，注意空间思维能力的培养．