Question

1．已知圆O：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l₁过点P（1，2），且与圆O于A、B两点，若AB=2$\sqrt{3}$，求直线l₁的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A（4，0）且与x轴垂直的直线l₂，直线PM交直线l₂于点P，直线OM交直线l₂于点Q，以PQ为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意，圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1，分类讨论，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l₁的方程；
（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．

解答 解：（1）由题意，圆心到直线的距离d=$\sqrt{4-3}$=1，
斜率不存在时，x=1满足题意；
斜率存在时，设方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
∴点O（0，0）到直线l₁的距离为$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l₁的方程为3x-4y+5=0，
综上所述直线l₁的方程为3x-4y+5=0或x=1；
（2）对于圆O的方程x²+y²=4，P（-2，0），Q（2，0）．
又直线l₂方程为x=4，设M（s，t），则直线PM方程为y=$\frac{t}{s+2}$（x+2）．
方程联立，得P′（4，$\frac{6t}{s+2}$），
同理可得：Q′（4，$\frac{2t}{s-2}$），
所以圆C的圆心C的坐标为（4，$\frac{4st-4t}{{s}^{2}-4}$），半径长为|$\frac{8t-2st}{{s}^{2}-4}$|，
又点M（s，t）在圆上，又s²+t²=4．故圆心C为（4，$\frac{4s-4}{t}$），半径长|$\frac{8-2s}{t}$|．
所以圆C的方程为（x-4）²+（y-$\frac{4s-4}{t}$）²=|$\frac{8-2s}{t}$|²．
令y=0，则（x-4）²=12，
所以x=4±2$\sqrt{3}$，
所以圆C经过定点且定点坐标为（4±2$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查的知识是直线和圆的方程的应用，其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时，点到直线的距离与半径的关系，弦长公式等是解答本题的关键．