Question

6．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x₀，使得x₀•f（x₀）=1成立，则称x₀为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是①②④．
①f（x）=-2x+2$\sqrt{2}$；  ②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；
③f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）；④f（x）=e^x；  ⑤f（x）=-2lnx．

Answer 1

分析 根据“反比点”的定义，直接解方程，进行判断即可．

解答 解：①由x$（-2x+2\sqrt{2}）$=1得：$2{x^2}-2\sqrt{2}x+1=0⇒x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
则①具有“反比点”．
②设h（x）=xsinx-1，∵h（0）=-1＜0，$h（{\frac{π}{2}}）=\frac{π-2}{2}＞0$，
∴h（x）=xsinx-1=0⇒xsinx=1在$（{0，\frac{π}{2}}）$上有解，所以②具有“反比点”．
③由$x（{x+\frac{1}{x}}）=1⇒{x^2}=0⇒x=0$∉（0，+∞），所以③不具有“反比点”；
④若xe^x=1令g（x）=xe^x-1，g（0）=-1＜0，g（1）=e-1＞0④具有“反比点”
⑤若$-2xlnx=1⇒xlnx=\frac{1}{-2}$在（0，+∞）上 有解，
令h（x）=xlnx⇒h'（x）=lnx+1=0⇒x=e^-1，
可得h（x）在x=e^-1有最小值-e^-1，而$-{e^{-1}}＞\frac{1}{-2}$，所以⑤不具有“反比点”，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用“反比点”的定义进行判断是解决本题的关键．