Question

已知-1≤x≤0，求函数y=2^x+2-3.4^x的最大值和最小值，并求出取得最值时对应的自变量的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先化简，然后利用换元法令t=2^x根据变量x的范围求出t的范围，将原函数转化成关于t的二次函数，最后根据二次函数的性质求在闭区间上的最值即可．

解答： 解：令y=2^x+2-3•4^x=-3•（2^x）²+4•2^x（3分）
令t=2^x，则y=-3t²+4t=-3(t-

2

3

)2+

4

3

（6分）
∵-1≤x≤0，∴

1

2

≤t≤1（8分）
又∵对称轴t=

2

3

∈[

1

2

，1]，
∴当t=

2

3

，即x=log2

2

3

时，y_max=

4

3

（10分）
当t=1，即x=0时，y_min=1（12分）．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用换元法转化成二次函数求解值域的问题，属于基础题．