题目内容
数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an-2an+1，cn=an+1+2an+2-2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；
（3）若数列{bn}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．
（1）若数列{an}是等差数列，求证：数列{bn}是等差数列；
（2）若数列{bn}，{cn}都是等差数列，求证：数列{an}从第二项起为等差数列；
（3）若数列{bn}是等差数列，试判断当b1+a3=0时，数列{an}是否成等差数列？证明你的结论．
考点：数列递推式,等比关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）利用等差数列的定义只要证明bn+1-bn=一个常数即可；
（2）当n≥2时，cn-1=an+2an+1-2，bn=an-2an+1，可得an=
+1，an+1=
+1，只要证明an+1-an等于一个常数即可；
（3）解：数列{an}成等差数列．
解法1 设数列{bn}的公差为d'，由bn=an-2an+1，利用“错位相减”可得2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，可得Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，进而得到an+1=
-(bn-d′)，令n=2，得a3=
-(b2-d′)=
-b1，利用b1+a3=0，可得an+2-an+1=-（bn+1-d'）+（bn-d'）=-d'，即可证明．
解法2 由bn=an-2an+1，b1+a3=0，令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，可得bn+1=an+1-2an+2，bn+2=an+2-2an+3，2bn+1-bn-bn+2=（2an+1-an-an+2）-2（2an+2-an+1-an+3），由于数列{bn}是等差数列，可得2bn+1-bn-bn+2=0，可得2an+1-an-an+2=2（2an+2-an+1-an+3），即可证明．
（2）当n≥2时，cn-1=an+2an+1-2，bn=an-2an+1，可得an=
| bn+cn-1 |
| 2 |
| bn+1+cn |
| 2 |
（3）解：数列{an}成等差数列．
解法1 设数列{bn}的公差为d'，由bn=an-2an+1，利用“错位相减”可得2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，可得Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，进而得到an+1=
| 2a1+2b1-4d′ |
| 2n+1 |
| 2a1+2b1-4d′ |
| 23 |
| 2a1+2b1-4d′ |
| 23 |
解法2 由bn=an-2an+1，b1+a3=0，令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，可得bn+1=an+1-2an+2，bn+2=an+2-2an+3，2bn+1-bn-bn+2=（2an+1-an-an+2）-2（2an+2-an+1-an+3），由于数列{bn}是等差数列，可得2bn+1-bn-bn+2=0，可得2an+1-an-an+2=2（2an+2-an+1-an+3），即可证明．
解答：
证明：（1）设数列{an}的公差为d，
∵bn=an-2an+1，
∴bn+1-bn=（an+1-2an+2）-（an-2an+1）=（an+1-an）-2（an+2-an+1）=d-2d=-d，
∴数列{bn}是公差为-d的等差数列．
（2）当n≥2时，cn-1=an+2an+1-2，
∵bn=an-2an+1，
∴an=
+1，∴an+1=
+1，
∴an+1-an=
-
=
+
，
∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，
∴
+
为常数，
∴数列{an}从第二项起为等差数列．
（3）解：数列{an}成等差数列．
解法1 设数列{bn}的公差为d'，
∵bn=an-2an+1，
∴2nbn=2nan-2n+1an+1，
∴2n-1bn-1=2n-1an-1-2nan，…，2b1=2a1-22a2，
∴2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，
设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，
∴2Tn=22b1+…+2nbn-1+2n+1bn，
两式相减得：-Tn=2b1+(22+…+2n-1+2n)d′-2n+1bn，
即Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，
∴-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn=2a1-2n+1an+1，
∴2n+1an+1=2a1+2b1+4(2n-1-1)d′-2n+1bn=2a1+2b1-4d′-2n+1(bn-d′)，
∴an+1=
-(bn-d′)，
令n=2，得a3=
-(b2-d′)=
-b1，
∵b1+a3=0，
∴
=b1+a3=0，
∴2a1+2b1-4d′=0，
∴an+1=-（bn-d′），
∴an+2-an+1=-（bn+1-d′）+（bn-d′）=-d′，
∴数列{an}（n≥2）是公差为-d'的等差数列，
∵bn=an-2an+1，令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，
∴数列{an}是公差为-d'的等差数列．
解法2∵bn=an-2an+1，b1+a3=0，
令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，
∴bn+1=an+1-2an+2，bn+2=an+2-2an+3，
∴2bn+1-bn-bn+2=（2an+1-an-an+2）-2（2an+2-an+1-an+3），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2bn+1-bn-bn+2=0，
∴2an+1-an-an+2=2（2an+2-an+1-an+3），
∵a1-2a2+a3=0，
∴2an+1-an-an+2=0，
∴数列{an}是等差数列．
∵bn=an-2an+1，
∴bn+1-bn=（an+1-2an+2）-（an-2an+1）=（an+1-an）-2（an+2-an+1）=d-2d=-d，
∴数列{bn}是公差为-d的等差数列．
（2）当n≥2时，cn-1=an+2an+1-2，
∵bn=an-2an+1，
∴an=
| bn+cn-1 |
| 2 |
| bn+1+cn |
| 2 |
∴an+1-an=
| bn+1+cn |
| 2 |
| bn+cn-1 |
| 2 |
| bn+1-bn |
| 2 |
| cn-cn-1 |
| 2 |
∵数列{bn}，{cn}都是等差数列，
∴
| bn+1-bn |
| 2 |
| cn-cn-1 |
| 2 |
∴数列{an}从第二项起为等差数列．
（3）解：数列{an}成等差数列．
解法1 设数列{bn}的公差为d'，
∵bn=an-2an+1，
∴2nbn=2nan-2n+1an+1，
∴2n-1bn-1=2n-1an-1-2nan，…，2b1=2a1-22a2，
∴2nbn+2n-1bn-1+…+2b1=2a1-2n+1an+1，
设Tn=2b1+22b2…+2n-1bn-1+2nbn，
∴2Tn=22b1+…+2nbn-1+2n+1bn，
两式相减得：-Tn=2b1+(22+…+2n-1+2n)d′-2n+1bn，
即Tn=-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn，
∴-2b1-4(2n-1-1)d′+2n+1bn=2a1-2n+1an+1，
∴2n+1an+1=2a1+2b1+4(2n-1-1)d′-2n+1bn=2a1+2b1-4d′-2n+1(bn-d′)，
∴an+1=
| 2a1+2b1-4d′ |
| 2n+1 |
令n=2，得a3=
| 2a1+2b1-4d′ |
| 23 |
| 2a1+2b1-4d′ |
| 23 |
∵b1+a3=0，
∴
| 2a1+2b1-4d′ |
| 23 |
∴2a1+2b1-4d′=0，
∴an+1=-（bn-d′），
∴an+2-an+1=-（bn+1-d′）+（bn-d′）=-d′，
∴数列{an}（n≥2）是公差为-d'的等差数列，
∵bn=an-2an+1，令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，
∴数列{an}是公差为-d'的等差数列．
解法2∵bn=an-2an+1，b1+a3=0，
令n=1，a1-2a2=-a3，即a1-2a2+a3=0，
∴bn+1=an+1-2an+2，bn+2=an+2-2an+3，
∴2bn+1-bn-bn+2=（2an+1-an-an+2）-2（2an+2-an+1-an+3），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2bn+1-bn-bn+2=0，
∴2an+1-an-an+2=2（2an+2-an+1-an+3），
∵a1-2a2+a3=0，
∴2an+1-an-an+2=0，
∴数列{an}是等差数列．
点评：本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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的最大值是（ ）
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| A、3 | B、4 | C、5 | D、6 |
图中所示的四个图形中正确的是（ ）
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |