Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段图象如图所示． 
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；
（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）根据正弦函数的单调性和最大值，求得f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．
（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=3，

3

4

T=

3

4

•

2π

ω

=4π-

π

4

，解得ω=

2

5

．
再根据五点法作图可得

2

5

×

π

4

+φ=0，求得φ=-

π

10

，∴f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）．
（2）令2kπ-

π

2

≤

2

5

x-

π

10

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 5kπ-π≤x≤5kπ+

3π

2

，故函数的增区间为[5kπ-π，5kπ+

3π

2

]，k∈z．
函数的最大值为3，此时，

2

5

x-

π

10

=2kπ+

π

2

，即 x=5kπ+

3π

2

，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值时x的集合为{x|x=5kπ+

3π

2

，k∈z}．
（3）设把f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y=3sin（

2

5

x+

π

2

）]．
则由

2

5

（x+m）-

π

10

=

2

5

x+

π

2

，求得m=

3

2

π，
把函数f（x）=3sin（

2

5

x-

π

10

）的图象向左平移

3

2

π个单位，可得y=3sin（

2

5

x+

π

2

）=3cos

2

5

x 的图象．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．