题目内容
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过焦点F作动直线交C于A，B两点，过A，B分别作圆D：（x-
）2+y2=1的两条切线，切点分别为P，Q．若AB垂直于x轴时，
+
=4．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若点H也在曲线C上，O为坐标原点，且
+
=t
，|
-
|＜8，求实数t的取值范围．
| p |
| 2 |
| 1 |
| sin∠PAF |
| 1 |
| sin∠QBF |
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）若点H也在曲线C上，O为坐标原点，且
| OA |
| OB |
| OH |
| HA |
| HB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量的基本定理及其意义
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|=|BF|=p．如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF=
，同理可得sin∠QBF=
．即可解出p．
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(
，y1)，B(
，y2)．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|
-
|＜8，|
|＜8，可得
＜8，m2＜1．由
+
=t
，t≠0．利用向量坐标运算可得
=
(
，y1+y2)=(
，
)．把点H的坐标代入抛物线方程即可得出．
| 1 |
| p |
| 1 |
| p |
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
| HA |
| HB |
| BA |
| (1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2] |
| OA |
| OB |
| OH |
| OH |
| 1 |
| t |
| ||||
| 4 |
| 4m2+2 |
| t |
| -4 |
| t |
解答：
解：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|=|BF|=p．
如图所示，
由切线的性质可得PF⊥AP．
在Rt△APF中，sin∠PAF=
，
同理可得sin∠QBF=
．
∵
+
=4，
∴2p=4，解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(
，y1)，B(
，y2)．
联立
，化为y2-4my-4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=-4．
∵|
-
|＜8，∴|
|＜8，
∴
=
＜8，化为1+m2＜2，即m2＜1．
∵
+
=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+8．
+
=t
，t≠0．
∴
=
(
，y1+y2)=(
，
)．
∵点H也在曲线C上，∴
=
．
化为t=
，
∵0≤m2＜1．
∴
＜t≤2．
∴t的取值范围是：(
，2]．
如图所示，
由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF=
| 1 |
| p |
同理可得sin∠QBF=
| 1 |
| p |
∵
| 1 |
| sin∠PAF |
| 1 |
| sin∠QBF |
∴2p=4，解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x-1=my，A(
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
联立
|
∴y1+y2=4m，y1y2=-4．
∵|
| HA |
| HB |
| BA |
∴
| (1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2] |
| (1+m2)(16m2+16) |
∵
| y | 2 1 |
| y | 2 2 |
| OA |
| OB |
| OH |
∴
| OH |
| 1 |
| t |
| ||||
| 4 |
| 4m2+2 |
| t |
| -4 |
| t |
∵点H也在曲线C上，∴
| 16 |
| t2 |
| 4(4m2+2) |
| t |
化为t=
| 2 |
| 2m2+1 |
∵0≤m2＜1．
∴
| 2 |
| 3 |
∴t的取值范围是：(
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线方程与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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