题目内容
已知椭圆
+
=1，过点A（2，0）作弦PA⊥QA，P、Q均在椭圆上，试问直线PQ是否经过一定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：对于是否过x轴上的一定点问题，可先假设存在，设直线AP的斜率为k，则AP：y=k（x-2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得P点的坐标，从而解决问题．
解答：
解：设直线AP的斜率为k，则AP：y=k（x-2），
与椭圆方程
+
=1联立，化简得：（3+4k2）x2-16k2x+16k2-12=0．
∵此方程有一根为2，∴xP=
，yP=
同理可得xQ=
，yQ=
．
∴kPQ=
∴直线PQ：y-
=
（x-
），
化简可得：y=
(7x-8)，
令y=0，可得x=
，
∴直线MN过x轴上的一定点（
，0）．
与椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∵此方程有一根为2，∴xP=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| -6k |
| 3+4k2 |
同理可得xQ=
| 8 |
| 4+3k2 |
| 6k |
| 4+3k2 |
∴kPQ=
| 7k |
| 4(1-k2) |
∴直线PQ：y-
| 6k |
| 4+3k2 |
| 7k |
| 4(1-k2) |
| 8 |
| 4+3k2 |
化简可得：y=
| k |
| 4(1-k2) |
令y=0，可得x=
| 8 |
| 7 |
∴直线MN过x轴上的一定点（
| 8 |
| 7 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及综合应用、直线过定点问题．考查推理能力和运算能力．
练习册系列答案
相关题目
若f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+α），且f（2012）=3，则f（2013）=（ ）
| A、4 | B、-3 | C、3 | D、-4 |
已知tan2α=
，α∈（-
，0），则
的值为（ ）
| 4 |
| 3 |
| π |
| 2 |
| cos2α | ||||
cos(
|
A、-
| ||
B、
| ||
C、-
| ||
D、
|
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜