Question

9．如图所示，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=x被椭圆C截得的弦长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（x₀，y₀）是椭圆C上的动点，过原点O引两条射线l₁，l₂与圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{2}{3}$分别相切，且l₁，l₂的斜率k₁，k₂存在．
①试问k₁•k₂是否定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线l₁，l₂与椭圆C分别交于点A，B，求|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c=2，求得P点坐标，代入椭圆方程，由a²-b²=1，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，代入椭圆方程，由韦达定理即可求得k₁k₂=$\frac{3{y}_{0}^{2}-2}{3{x}_{0}^{2}-2}$，由y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，即可求得k₁k₂=-$\frac{1}{2}$；
②方法一：分别求得直线OA及OB的方程代入椭圆方程，求得|OA|及|OB|，利用基本不等式的性质，即可求得|OA|•|OB|的最大值；
方法二：|OA|²+|OB|²=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$+$\frac{2+2{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$，y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，代入即可求得：|OA|²+|OB|²=3，由|OA|²+|OB|²≥2|OA||OB|，即可求得|OA|•|OB|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由2c=2，c=1，设直线直线y=x被与椭圆C相交于P，Q两点，
则丨OP丨=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，设P（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），代入椭圆方程，$\frac{2}{3{a}^{2}}+\frac{2}{3{b}^{2}}=1$，①
由a²-b²=1，②
解得：a²=2，b²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\frac{丨k{x}_{0}-{y}_{0}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，两边平方得（3x₀²-2）k²-6x₀y₀k+3y₀²-2=0，
由y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
∴k₁k₂=$\frac{3{y}_{0}^{2}-2}{3{x}_{0}^{2}-2}$=$\frac{3（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{2}）-2}{3{x}_{0}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴k₁•k₂为定值，定值-$\frac{1}{2}$，
②方法一：联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y={k}_{1}x}\end{array}\right.$，消去y，x₁²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，丨OA丨=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$，同理丨OA丨=$\frac{2+2{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$，
|OA|²•|OB|²=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$•$\frac{2+2{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$=4×$\frac{（{k}_{1}{k}_{2}）^{2}+（{k}_{1}^{2}+{k}_{2}^{2}）+1}{4（{k}_{1}{k}_{2}）^{2}+2（{k}_{1}^{2}+{k}_{1}^{2}）+1}$=$\frac{4（{k}_{1}^{2}+{k}_{2}^{2}）+5}{2（{k}_{1}^{2}+{k}_{1}^{2}）+2}$=2+$\frac{1}{2（{k}_{1}^{2}+{k}_{1}^{2}）+2}$，
=2+$\frac{1}{2{k}_{1}^{2}+\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}+2}$≤$\frac{9}{4}$，当且仅当k₁²=$\frac{1}{2}$，取等号，
∴|OA|•|OB|的最大值为$\frac{3}{2}$，
方法二：联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\\{y={k}_{1}x}\end{array}\right.$，消去y，x₁²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，丨OA丨=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$，同理丨OA丨=$\frac{2+2{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$，
则|OA|²+|OB|²=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$+$\frac{2+2{k}_{2}^{2}}{1+2{k}_{2}^{2}}$=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$+$\frac{2+\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}}{1+\frac{1}{2{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{2+2{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$+$\frac{1+4{k}_{1}^{2}}{1+2{k}_{1}^{2}}$=3，
由|OA|²+|OB|²≥2|OA||OB|，则|OA||OB|≤$\frac{3}{2}$，当且仅当|OA|=|OB|时，取等号，
∴|OA|•|OB|的最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，基本不等式的性质，属于中档题．