Question

8．已知函数y=f（x）在定义域（-$\frac{3}{2}$，3）内可导，其图象如图所示．记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集为[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等价于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．根据单调性与导数的关系分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0，等价于$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≤0}\\{x＞1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{x＜1}\end{array}\right.$②．
由y=f（x）图象可知f（x）在[-$\frac{1}{3}$，1]、[2，3）内递减，f′（x）≤0；
f（x）在（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]、[1，2]内递增，f′（x）≥0．
故由①可得x∈[2，3]，由②可得x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．
综上可得，不等式$\frac{f′（x）}{x-1}$≤0的解集为[2，3]∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]，
故答案为：[2，3）∪（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查了导数的正负和原函数增减性的问题，导数的符号决定函数的单调性：导数为正，函数单增；导数为负，函数递减，属中档题．