Question

15．已知定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，且在[1，+∞）上单调，若数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀），则{a_n}的前25项之和为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{25}{2}$
• C． 25
• D． 50

Answer 1

分析 由已知得函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1-x），即有函数f（x）图象关于直线x=1对称，从而得到a₆+a₂₀=2，运用等差数列的求和公式，由此能求出结果．

解答 解：由定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，
可得函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1-x），
∴函数f（x）图象关于直线x=1对称，
又函数f（x）在[1，+∞）上单调，
数列{a_n}是公差不为0的等差数列，且f（a₆）=f（a₂₀），
∴a₆+a₂₀=2，
∴S₂₅=$\frac{25}{2}$（a₁+a₂₅）=$\frac{25}{2}$（a₆+a₂₀）=$\frac{25}{2}$×2=25．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的前25项之和的求法，是中档题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用．