Question

已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=3，E为AB的中点，F为CD上靠近点D的三等分点，且EF⊥AB，EF=2，现将梯形沿着EF翻折，使得平面BCFE⊥平面AEFD，连接BD、BA和CD，如图所示．

（1）求三棱锥E-ABD的体积；
（2）在BD上是否存在一点P，使得CP∥平面AEFD？如果存在，求DP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由V_E-ABD=V_B-ADE，利用等积法能求出三棱锥E-ABD的体积．
（2）当P为BD上靠近点B的三等分点时，CP∥平面AEFD．连结DE，在DE上取靠近点E的三等分点Q，连结PQ，FQ，
则PQ∥CF，且PQ=CF，四边形PCFQ为平行四边形，由此能求出DP的长．

解答： 解：（1）由题意得平面BCFE⊥平面AEFD，且平面BCFE∩平面AEFD=FE，
又BE⊥FE，∴BE⊥平面AEFD，
在梯形ABCD中，
由于AB∥CD，AB=6，CD=3，E为AB的中点，
F为CD上靠近点D的三等分点，且EF⊥AB，EF=2，
∴AE=3，DE=

5

，AD=2

2

，
由余弦定理，得cos∠ADE=

5+8-9

2×2 2 × 5

=

10

10

，
则sin∠ADE=

3 10

10

，
∴△ADE面积S=

1

2

×DE×AD×sin∠ADE=

1

2

×

5

×2

2

×

3 10

10

=3，
∴三棱锥E-ABD的体积V_E-ABD=V_B-ADE=

1

3

×3×3=3．
（2）当P为BD上靠近点B的三等分点时，CP∥平面AEFD．
证明如下：
连结DE，在DE上取靠近点E的三等分点Q，连结PQ，FQ，
则PQ∥CF，且PQ=CF，
∴四边形PCFQ为平行四边形，∴CP∥FQ，
∵CP不包含于平面AEFD，FQ?平面AEFD，
∴CP∥平面AEFD，
由（1）知BE⊥平面AEFD，
在Rt△BED中，BD²=BE²+DE²=BE²+EF²+DF²=9+4+1=14，
∴BD=

14

，DP=

2

3

BD=

2 14

3

．

点评：本题考查三棱锥体积的求法，求满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思想能力的培养．