Question

设函数f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1；
（3）令g(x)=

f(x)

ex

，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求得函数的单调区间即可；
（2）利用导数的几何意义，求得曲线的切线斜率，写出切线方程，即可得证；
（3）由题意得，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则?x∈（0，1]，g'（x）≤0，即：f'（x）≤f（x），解不等式即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=x²+x-lnx（x＞0）-------（1分）∴f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

---------（3分）x∈(0，

1

2

)，f′(x)＜0，x∈(

1

2

，+∞)，f′(x)＞0，f（x）的减区间为(0，

1

2

)，增区间(

1

2

，+∞)-------（5分）
（2）设切点为M（t，f（t）），f′(x)=2x+ax-

1

x

切线的斜率k=2t+a-

1

t

，又切线过原点k=

f(t)

t

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即：t2+at-lnt=2t2+at-1∴t2-1+lnt=0-------------（7分）
t=1满足方程t²-1+lnt=0，由y=1-x²，y=lnx图象可知x²-1+lnx=0
有唯一解x=1，切点的横坐标为1；-----（8分）
或者设φ（t）=t²-1+lnt，φ′(t)=2t+

1

t

＞0φ（t）在（0，+∞）递增，且φ（1）=0，方程t²-1+lnt=0有唯一解--------（9分）
（3）g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则?x∈（0，1]，g′（x）≤0，即：f′（x）≤f（x），所以x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0---（*）------------（10分）
设h(x)=x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)h′(x)=2x-2-

1

x2

-

1

x

+a=-

(1-x)(2x2+2x+1)

x2

-2+a
若a≤2，则h'（x）≤0，h（x）在（0，1]递减，h（x）≥h（1）=0
即不等式f'（x）≤f（x），?x∈（0，1]，恒成立----------------------（11分）
若a＞2，∵φ(x)=2x-

1

x2

-

1

x

-2∴φ′(x)=2+

2

x3

+

1

x2

＞0φ（x）在（0，1]上递增，φ（x）≤φ（1）=-2?x₀∈（0，1），
使得φ（x₀）=-ax∈（x₀，1），φ（x）＞-a，即h'（x）＞0，h（x）在（x₀，1]上递增，h（x）≤h（1）=0
这与?x∈（0，1]，x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0矛盾----------------------------（12分）
综上所述，a≤2-----------------------------------------（13分）
解法二：g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，
则?x∈（0，1]，g'（x）≤0，即：f'（x）≤f（x），所以x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0-----------------（10分）
显然x=1，不等式成立
当x∈（0，1）时，a≤

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

恒成立-------------------------------------（11分）
设h(x)=

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

，h′(x)=

-x2+2x-1- 1 x2 + 1 x -lnx

(1-x)2

设φ(x)=-x2+2x-1-

1

x2

+

1

x

-lnx，φ′(x)=2(1-x)+

(1-x)(2+x)

x3

＞0φ（x）在（0，1）上递增，
φ（x）＜φ（1）=0所以h'（x）＜0-----------------------------（12分）h（x）在（0，1）上递减，h(x)＞h(1)=

lim

x→1

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

=

lim

x→1

(-2x+2+

1

x

+

1

x2

)=2
所以 a≤2----------------------------------------------------------------（13分）

点评：本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．
考查分类讨论思想、转化划归思想的运用能力，属难题．