题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为
，其中的一个对称中心是（
，0）且函数的一个最小值为-2．
（1）求函数f（x）的解析式，并求当x∈[0，
]时f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间（
，b）上有唯一的零点，求实数b的最大值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
（1）求函数f（x）的解析式，并求当x∈[0，
| π |
| 6 |
（2）若函数f（x）在区间（
| π |
| 12 |
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）由最小值求得得A，由相邻两条对称轴之间的距离求得函数的最小正周期，继而利用周期公式求得得ω，把点(
，0)在代入三角函数解析式求得φ得到函数解析式，进而利用三角函数的性质求得其值域．
（2）利用三角函数图象和基本性质，根据函数的周期获得答案．
| π |
| 3 |
（2）利用三角函数图象和基本性质，根据函数的周期获得答案．
解答：
解：（1）∵最小值为-2，
∴A=2．
∵相邻两条对称轴之间的距离为
，
∴
=
，即T=π，
∴ω=
=
=2．
∵点(
，0)在图象上
∴2sin(2×
+ϕ)=0，
即sin(
+ϕ)=0，
∴
+ϕ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-
（k∈Z）．
又ϕ∈(0，
)，
∴φ=
，
∴f（x）=2sin(2x+
)；
∵x∈[0，
]，
∴2x+
∈[
，
]，
当2x+
=
，即x=0时，f（x）取得最大值0，
当2x+
=
，即x=
时，f（x）取得最小值-2，
故f（x）的值域为[-2，0]．
（2）当x=
时，f（
）=2sin（
+
）=2，
由函数f（x）在一个周期内的图象可知，f（x）要在区间(
，b)上有唯一零点，b最大可取
．
∴b的最大值为
．
∴A=2．
∵相邻两条对称轴之间的距离为
| π |
| 2 |
∴
| T |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴ω=
| 2π |
| T |
| 2π |
| π |
∵点(
| π |
| 3 |
∴2sin(2×
| π |
| 3 |
即sin(
| 2π |
| 3 |
∴
| 2π |
| 3 |
∴φ=kπ-
| 2π |
| 3 |
又ϕ∈(0，
| π |
| 2 |
∴φ=
| π |
| 3 |
∴f（x）=2sin(2x+
| π |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 6 |
∴2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
当2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当2x+
| π |
| 3 |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 8 |
故f（x）的值域为[-2，0]．
（2）当x=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
由函数f（x）在一个周期内的图象可知，f（x）要在区间(
| π |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
∴b的最大值为
| 5π |
| 6 |
点评：本题主要考查了三角函数图象和性质．考查了学生分析问题的能力．
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