Question

12．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x）（x≥0）\\-f（x）（x＜0）\end{array}$．
（1）f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在 （1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设b-2=2a，记F（x）在[0，1]上的最大值为G（a），求函数G（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数有最小值可判断f（x）为开口向上的二次函数，且△=0，列方程解出a，b；
（2）求出g（x）的对称轴，得出[-2，2]在对称轴一侧，列出不等式解出k；
（3）求出f（x）的对称轴，对[0，1]与对称轴的关系进行讨论f（x）的单调性，从而得出G（a）．

解答 解：（1）∵f（x）的值域为[0，+∞），∴f（x）为二次函数，且△=b²-4a=0，
又f（-1）=a-b+1=0，解得a=1，b=2．
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1，∴g（x）的对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，∴$\frac{k-2}{2}$≤-2或$\frac{k-2}{2}$≥2．
解得k≤-2或k≥6．
（3）∵b-2=2a，∴b=2a+2，∴f（x）=ax²+（2a+2）x+1，
∴当x∈[0，1]时，F（x）=ax²+（2a+2）x+1，
若a=0，则F（x）=2x+1，∴F（x）在[0，1]上是增函数，∴G（a）=F（1）=3，
若a≠0，则F（x）的对称轴为x=-$\frac{2a+2}{2a}$=-1-$\frac{1}{a}$，
当a＞0时，-1-$\frac{1}{a}$＜0，F（x）在[0，1]上是增函数，∴G（a）=F（1）=3a+3．
当a＜0时，若-1≤-1-$\frac{1}{a}$≤1，即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$时，G（a）=F（-1-$\frac{1}{a}$）=-a-$\frac{1}{a}$-1，
若-1-$\frac{1}{a}$＞1，即-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，F（x）在[0，1]上是增函数，∴G（a）=F（1）=3a+3．
若-1-$\frac{1}{a}$＜0，即a＜-1时，F（x）在[0，1]上是减函数，∴G（a）=F（0）=1，
∴G（G）=$\left\{\begin{array}{l}{1，a＜-1}\\{-a-\frac{1}{a}-1，-1≤a≤-\frac{1}{2}}\\{3a+3，a＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴G（a）在（-∞，-1）上为常量函数，在（-1，-$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，
∴G（a）的最小值为G（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数解析式，函数单调性，最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．