Question

2．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），曲线C₂的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{8}}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C₁，C₂的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）求曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，sin²θ+cos²θ=1进行代换即得曲线C₁，C₂的普通方程；
（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C₁上任意一点，求点P到直线的距离d，利用三角函数的有界限可得最值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），则cosθ=$\frac{x}{2}$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
可得：为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
曲线C₂的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+t}\\{y=\frac{3+3t}{8}}\end{array}}\right.$（t为参数），消去参数t，
t=x+3，带入y=$\frac{3+3（x+3）}{8}$，即3x-8y+12=0．
∴曲线C₂的普通方程为3x-8y+12=0．
（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）为曲线C₁上任意一点，
则点P到直线3x-8y+12=0的距离d为：$d=\frac{{|{6cosθ-8sinθ+12}|}}{{\sqrt{73}}}=\frac{{|{10sin（φ-θ）+12}|}}{{\sqrt{73}}}$，（其中$tanφ=\frac{3}{4}$）
∵sin（φ-θ）∈[-1，1]，
∴$d∈[{\frac{{2\sqrt{73}}}{73}，\frac{{22\sqrt{73}}}{73}}]$
即曲线C₁上的点到曲线C₂的距离的最大值为$\frac{{22\sqrt{73}}}{73}$，最小值为$\frac{{2\sqrt{73}}}{73}$．

点评 本题考查点的参数方程和直角坐标方程的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．