Question

已知函数f（x）=x²+2（a+1）x（x∈[-5，5]），求：
（1）当a=1时，求函数的最大值；
（2）若f（x）在（3，5）上为单调函数，求a的取值范围；
（3）若f（x）＞2x，在（3，5）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=1代入，结合二次函数的图象和性质，分析函数f（x）在[-5，5]上的单调性，进而可得函数的最小值；
（2）若f（x）在（3，5）上为增函数，在区间（3，5）在函数图象对称轴的右侧，由此构造关于a的不等式，解得a的取值范围；
（3）问题转化为a＞-

x

2

在（3，5）恒成立，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x²+4x的图象开口朝上，且以直线x=-2为对称轴，
故f（x）在[-5，-2]上为减函数，在[-2，5]上为增函数，
故当x=-2时，函数取最小值-4；
（2）函数f（x）=x²+2（a+1）x的图象开口朝上，且以直线x=-（a+1）为对称轴，
若f（x）在（3，5）上为增函数，
则-（a+1）≤3，
解得：a≥-4；
（3）若f（x）＞2x在（3，5）恒成立，
?x²+2ax＞0在（3，5）恒成立，
?a＞-

x

2

在（3，5）恒成立，
?a＞-

3

2

．
从而a的范围是（-

3

2

，+∞）．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．