Question

已知函数f（x）=ax²+4x+3，x∈[0，5]，f（x）最小值为g（a），求g（a）的解析式以及g（a）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：通过讨论a＞0时，a=0时，-

2

5

≤a＜0时，-

4

5

＜a＜-

2

5

时，a≤-

4

5

时的范围，从而求出函数的解析式，画出函数g（a）的图象，得出函数的值域．

解答： 解：a=0时，f（x）=4x+3，g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
a＞0时，对称轴x=-

2

a

＜0，
∴f（x）在[0，5]递增，∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
0＜-

2

a

≤

5

2

，即a≤-

4

5

时，f（x）在[0，-

2

a

）递增，在（-

2

a

，5]递减，
∴g（a）=f（x）_min=f（5）=25a+23，

5

2

＜-

2

a

＜5，-

4

5

＜a＜-

2

5

时，f（x）在[0，-

2

a

）递增，在（-

2

a

，5]递减，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
-

2

a

≥5，即-

2

5

≤a＜0时，f（x）在[0，5]递增，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
综上：g（a）=

3(a＞- 4 5 ) 25a+23，(a≤- 4 5 )

，
画出函数g（a）的图象，如图示：
由图象得：g（a）的值域是（-∞，3]．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，函数的最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．