Question

已知点A（0，-2），椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，F是椭圆的右焦点，直线AF的一个方向向量为

d

=(

3

 ， 2)，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设F（c，0），得到直线AF的方程，令y=0，得c的值，由b²=a²-c²=1，从而求出椭圆的方程；
（2）由题意，设直线l的方程为y=kx-2，得到方程（4k²+1）x²-16kx+12=0，表示出|PQ|的长，从而表示△OPQ的面积，进而求出l的方程．

解答： 解：（1）设F（c，0），直线AF的方程为

x

3

=

y+2

2

，…（2分）
令y=0，得x=

3

，即c=

3

，…（3分）
由已知，a=2，所以b²=a²-c²=1．  …（5分）
所以椭圆E的方程为

x2

4

+y2=1．      …（6分）
（2）由题意，设直线l的方程为y=kx-2，
将y=kx-2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²-16kx+12=0，…（1分）
当△=16（4k²-3）＞0，即k2＞

3

4

时，直线l与椭圆E相交，…（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，…（3分）
所以|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(k2+1)(x1-x2)2

=

(k2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(k2+1)•[( 16k 4k2+1 )2- 48 4k2+1 ]

=

4 k2+1

4k2+1

•

4k2-3

，
又点O到直线l的距离d=

2

k2+1

，所以△OPQ的面积S=

1

2

|PQ|•d=

4 4k2-3

4k2+1

．
设

4k2-3

=t，则t＞0，S=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

，…（5分）
因为t+

4

t

≥4，所以S≤1，当且仅当t=2，即k=±

7

2

时，S取最大值1．…（7分）
所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为y=±

7

2

x-2． …（8分）
（直线方程用其他形式也可以）

点评：本题考查了椭圆方程，考查了向量问题，考查了函数的最值问题，本题有一定的难度．