Question

已知命题p：方程x²+y²-2mx+2m²+2m-3=0表示圆；命题q：函数方程f（x）=

1

3

x³-

1

2

mx²+x-1在R上单调递增
（1）若命题p为真命题，求实数的m取值范围
（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数的m取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,阅读型,导数的综合应用

分析：（1）由命题p为真命题，得到D²+E²-4F＞0，由此求得m的范围（-3，1）；
（2）当命题q为真命题时有f'（x）=x²-mx+1≥0恒成立，然后结合二次不等式的判别式恒小于等于0求得m的范围，再把命题p是真命题，命题q是假命题；与命题p是假命题，命题q是真命题转化为不等式组解得m的范围．

解答： 解：（1）∵命题p为真命题，
∴D²+E²-4F＞0，即（-2m）²-4（2m²+2m-3）＞0，
整理得m²+2m-3＜0，解得-3＜m＜1，
∴实数m的取值范围为（-3，1）；
（2）当命题q为真命题时有f'（x）=x²-mx+1≥0恒成立，
∴△=m²-4≤0，解得-2≤m≤2，
若命题p是真命题，命题q是假命题，则有

-3＜m＜1 m＜-2或m＞2

，解得-3＜m＜-2；
若命题p是假命题，命题q是真命题，则有

m≤-3或m≥1 -2≤m≤2

，解得1≤m≤2．
故所求实数m的取值范围为（-3，-2）∪[1，2]．

点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．