Question

14．已知抛物线C₁：x²=4y的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求C₂的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l与C₁相交于A，B两点，与C₂相交于C、D两点，且$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$同向．若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的方程可得C₁的焦点坐标，由椭圆的几何性质可得a²-b²=1，结合椭圆、抛物线的对称性分析可得C₁与C₂的公共点在坐标，将其坐标代入椭圆的方程可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，联立两式解可得a²、b²的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$与同向且|AC|=|BD|分析可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄①；设直线的斜率为k，则可得直线的方程，联立直线与抛物线的方程，用根与系数的关系表示（x₁+x₂）和（x₁•x₂），同理可表示（x₃+x₄）和（x₃•x₄），将其值代入①中，解可得k的值．

解答 解：（1）抛物线C₁：x²=4y，其开口向上，对称轴为y轴，且其焦点为（0，1），
又由抛物线C₁的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点，
则有a²-b²=1，
又由C₁与C₂的公共弦长为2$\sqrt{6}$，而C₁与C₂的都关于y轴对称，
其公共点在坐标为（±$\sqrt{6}$，$\frac{3}{2}$），
代入椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1中，可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，
解可得a²=9，b²=8，
故椭圆C₂的方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}$+$\frac{{x}^{2}}{8}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$与同向且|AC|=|BD|，则有$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BD}$，
即有x₁-x₂=x₃-x₄，
变形可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（x₃+x₄）²-4x₃x₄，①
设直线的斜率为k，则直线的方程为y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，解可得x²-4kx-4=0，有x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4，②
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，解可得（9+8k²）x²+16kx-64=0，有x₃+x₄=$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{-64}{9+8{k}^{2}}$③，
将②③代入①中，有（4k）²-4×（-4）=（$\frac{-16k}{9+8{k}^{2}}$）²-4×（$\frac{-64}{9+8{k}^{2}}$），
解可得k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
故直线的斜率k=±$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆与抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．