Question

10．证明下面两个结论：
（ I）若|a|＞1，|b|＞1，则|1-ab|＞|a-b|；
（Ⅱ）若a，b，m，n∈R⁺，a+b=1，则（am+bn）（bm+an）≥mn．

Answer 1

分析 （I）利用作差比较，结合已知条件即可证得结论；
（Ⅱ）展开多项式，结合基本不等式以及已知条件即可证得结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＞1，|b|＞1，∴a²-1＞0，b²-1＞0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0，故有|1-ab|＞|a-b|；
（Ⅱ）（am+bn）（bm+an）=abm²+（a²+b²）mn+abn²
=（a²+b²）mn+ab（m²+n²）≥（a²+b²）mn+2abmn=mn（a²+2ab+b²）=mn（a+b）²，
∵a+b=1，
∴（am+bn）（bm+an）≥mn（a+b）²=mn．
∴（am+bn）（bm+an）≥mn．

点评 本题考查了不等式的证明，考查了基本不等式的应用，是中档题．