Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）记数列{a_n}的前n项和S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），利用等比数列的通项公式可得a_n+1-a_n，再利用“累加求和”方法即可得出．
（2）利用分组求和法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=3为首项，公比为2的等比数列，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=3•{2^{n-1}}$．
∴n≥2时，${a_n}-{a_{n-1}}=3•{2^{n-2}}$，…，a₃-a₂=3•2，a₂-a₁=3，
累加得${a_n}-{a_1}=3•{2^{n-2}}+3•{2^{n-3}}+…+3•2+3=3（{2^{n-1}}-1）$
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}-2$（当n=1时，也满足）．
（2）由（1）利用分组求和法得${S_n}=3（{2^{n-2}}+{2^{n-3}}+…+2）-2n=3（{2^n}-1）-2n$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．