Question

20．向量$\overrightarrow a=（1，1）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的方向相反，则$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范围是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 由题意，存在实数λ＞0使得$\overrightarrow{a}$=-λ•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求得 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{-2（λ+1）}{λ}$=-2（1+$\frac{1}{λ}$），再结合λ＞0，求得它的范围．

解答 解：向量$\overrightarrow a=（1，1）$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a+\overrightarrow b$的方向相反，则存在实数λ＞0使得$\overrightarrow{a}$=-λ•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
即 $\overrightarrow{b}$=$\frac{-1-λ}{λ}$•$\overrightarrow{a}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{-2（λ+1）}{λ}$=-2（1+$\frac{1}{λ}$）．
又∵λ＞0，∴1+$\frac{1}{λ}$＞1，∴-2（1+$\frac{1}{λ}$）＜-2，即 $\overrightarrow a•\overrightarrow b$的取值范围为（-∞，-2），
故答案为：（-∞，-2）．

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量$\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$方向相同，我们可以判断存在实数λ＞0使得：$\overrightarrow{a}$=λ•$\overrightarrow{b}$，然后根据已知条件，将条件中的等量关系转化为不等式，解不等式，即可求得答案，属于中档题．