Question

17．在数列{a_n}中，a₁=-2¹⁰¹，且当2≤n≤100时，a_n+2a_102-n=3×2ⁿ恒成立，则数列{a_n}的前100项和S₁₀₀=-4．

Answer 1

分析 当2≤n≤100时，a_n+2a_102-n=3×2ⁿ恒成立，可得：a₂+2a₁₀₀=3×2²，a₃+2a₉₉=3×2³，…，a₁₀₀+2a₂=3×2¹⁰⁰，累加可得数列{a_n}的前100项和．

解答 解：∵当2≤n≤100时，a_n+2a_102-n=3×2ⁿ恒成立，
∴a₂+2a₁₀₀=3×2²，
a₃+2a₉₉=3×2³，
…，
a₁₀₀+2a₂=3×2¹⁰⁰，
∴（a₂+2a₁₀₀）+（a₃+2a₉₉）+…+（a₁₀₀+2a₂）=3（a₂+a₃+…+a₁₀₀）
=3（2²+2³+…+2¹⁰⁰）=$\frac{4（1{-2}^{99}）}{1-2}$=3（2¹⁰¹-4）．
∴a₂+a₃+…+a₁₀₀=2¹⁰¹-4，
又a₁=-2¹⁰¹，
∴S₁₀₀=a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查数列的求和，考查递推关系的应用，求得a₂+a₃+…+a₁₀₀=2¹⁰¹-4是解决问题的关键，也是难点．考查推理、运算能力，属于难题．