Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）是否存在实数a，使函数在区间上的最小值为，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使函数在区间上的最小值为.

【解析】

（1）先求出切点的坐标，再求出切线的斜率得解；（2）先求出，再对a分类讨论，求出每一种情况下的最小值即得解.

（1）当时，，，

，，

∴函数在点处的切线方程为.

（2）∵，，∴此函数的定义域为，

，

当时，恒成立，∴在上是减函数，

∴当时，取得最小值，

解得与矛盾；

当时，令，得（舍），，

在上，，在上，，

∴当，即时，函数在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取得最小值，

令，得，符合题意.

当，即时，函数在是减函数，

∴当时，取得最小值，即，

解得与矛盾.

综上，存在，使函数在区间上的最小值为.