Question

【题目】如题所示的平面图形中，为矩形，，为线段的中点，点是以为圆心，为直径的半圆上任一点（不与重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图2，为线段的中点.

（1）证明：.

（2）若锐二面角的大小为，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

（1）连，由已知可得，点在以为直径的半圆上一点，可得，

平面平面，，可证平面，得到，进而可证平面，从而有平面，即可证明结论；

（2）平面，得为二面角的平面角，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出坐标，以及平面法向量坐标，由（1）得平面的法向量为，由空间向量的面面角公式，即可求解.

（1）连，分别为线段的中点，，

点在以为直径的半圆上一点，，

平面平面，平面平面，

，平面，平面，

平面平面，

平面，平面，

平面，；

（2）平面，

为二面角的平面角，

，

过点做，

过点在平面做的垂线，交于，

则平面，以为坐标原点，过点与平行的直线，

所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

，

，

设平面的法向量为，

，即，令，则，

，由（1）得平面法向量为，

，

所以二面角的正弦值为.