Question

【题目】如图，已知四棱锥，平面，，，.

（1）求证：平面；

（2）求证：在线段上存在一点，使得，并指明点的位置；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析；点是的中点（3）

【解析】

（1）根据所给线段，应用勾股定理逆定理可证明，结合平面可知，从而由线面垂直判定定理即可证明平面；

（2）根据垂直关系，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设，表示出后结合平面向量数量积垂直的坐标关系，即可求得的值，进而确定的位置.

（3）根据空间直角坐标系，求得平面的法向量平面的法向量，由空间向量数量积定义求得两个法向量夹角的余弦值，结合二面角为锐二面角，即可求得二面角的大小.

（1）证明：，

.

又，

，

，

又平面，平面，

，

平面，

，

平面.

（2）证明：以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，.

设，，则，

所以，

，解得，

所以点是的中点.

（3）设平面的法向量为

，，

所以即

令，则.

设平面的法向量为，

因为，，

所以即，

令，则，

所以.

由图知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的大小为.