Question

【题目】如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，.

（1）若，证明：；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据题意，取中点为，通过证明平面进而推证线线垂直；

（2）以对角线的交点为，建立直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解法向量的夹角，进而求得二面角的大小.

（1）取的中点，连接，.如下图所示：

∵，∴.

∵四边形是菱形，且，

∴，∴.

∵，∴平面，

∴.

又在菱形中，，

∴.

（2）设与交于点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

则，.

，.

由（1）知，

∵平面平面，

∴平面.

则，，，，

，

设平面的法向量为，

∵，∴，

取，得.

设平面的法向量为，

∵，∴，

取，得.

设平面与平面所成锐二面角为，

则.

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.