Question

11．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$），求函数g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f（x），再由周期公式计算得答案；
（2）由已知条件求出g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，则2x+$\frac{π}{3}$∈$[0，\frac{4π}{3}]$，由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{2}}{2}cos2x）+si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+sin²x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$co{s}^{2}x-\frac{1}{2}+si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{2}$sin2x+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，则2x+$\frac{π}{3}$∈$[0，\frac{4π}{3}]$，
则$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，即$-\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$≤g（x）$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$，解得$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$≤g（x）≤1．
综上所述，函数g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域为：[$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法，是中档题．