Question

18．据统计，某物流公司每天的业务中，从甲地到乙地的可配送的货物量X（40≤X＜200，单位：件）的频率分布直方图，如图所示，将频率视为概率，回答以下问题．
（1）求该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量；
（2）该物流公司拟购置货车专门运营从甲地到乙地的货物，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每
趟最多只能装载40 件货物，满载发车，否则不发车．若发车，则每辆车每趟可获利1000 元；若未发车，
则每辆车每天平均亏损200 元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应该购置几辆货
车？

Answer 1

分析 （1）计算配送量X在[120，160）上的概率，使用组中值代替各小组的平均值，利用加权平均数公式计算；
（2）设每天的营业利润为Y，对购置车辆数进行依次讨论，分别计算E（Y），根据E（Y）的大小关系作出结论．

解答 解：（1）在区间[120，160）的频率为$1-（{\frac{1}{320}+\frac{1}{320}+\frac{1}{160}}）×40=\frac{1}{2}$，
该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量：$60×（{\frac{1}{320}×40}）+100×（{\frac{1}{160}×40}）+140×\frac{1}{2}+180×（{\frac{1}{320}×40}）=125$．
（2）从甲地到乙地的可配送货物量X在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为$\frac{1}{8}，\frac{1}{4}，\frac{1}{2}，\frac{1}{8}$．
设运输公司每天的营业利润为Y．
①若购置1辆车，则Y的值为1000；
②若购置2辆车，则Y的可能取值为2000，800，其分而列为

Y	2000	800
P	$\frac{7}{8}$	$\frac{1}{8}$

故$E（Y）=2000×\frac{7}{8}+800×\frac{1}{8}=1850$；
③若购置3辆车，则Y的可能取值为3000，1800，600，其分布列为

Y	3000	1800	600
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

故$E（Y）=3000×\frac{5}{8}+1800×\frac{1}{4}+600×\frac{1}{8}=2400$；
④若购置4辆车，则Y的可能取值为4000，2800，1600，400其分布列为

Y	4000	2800	1600	400
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

故$E（Y）=4000×\frac{1}{8}+2800×\frac{1}{2}+1600×\frac{1}{4}+400×\frac{1}{8}=2350$；
因为2400＞2350＞1850＞1000，
所以为使运输公司每天的营业利润最大，该公司应购置3辆车．

点评 本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．