Question

16．设向量$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定义一种向量积$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂）．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，Q是函数y=f（x）图象上的点，且满足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$（其中O为坐标原点），求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 令Q（c，d），由新定义可得$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$=（2x+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$sinx），消去x，可得d=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$c-$\frac{π}{6}$），即可得到y=f（x）的解析式，再由正弦函数的值域即可得到所求值域．

解答 解：令Q（c，d），
由新运算可得$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{m}$?$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{n}$=（2x，$\frac{1}{2}$sinx）+（$\frac{π}{3}$，0）
=（2x+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$sinx），
即$\left\{\begin{array}{l}{c=2x+\frac{π}{3}}\\{d=\frac{1}{2}sinx}\end{array}\right.$，消去x得d=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$c-$\frac{π}{6}$），
所以y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），
当$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=4kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z时，取得最大值$\frac{1}{2}$；
当$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=4kπ-$\frac{2π}{3}$，k∈Z时，取得最小值-$\frac{1}{2}$．
故y=f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题．