题目内容
5．已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0．（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）试判断f（x）的单调性，并证明．
分析 （1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；
（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．
解答 解：（1）令x1=0，x2=0，
则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
令x1=x，x2=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
（2）函数在定义域上为增函数．
证明：当x1＜x2时，则x2-x1＞0，此时f（x2-x1）＞0
则f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0，
可得f（x2）＞f（x1）
由此，得到y=f（x）是R上的增函数．
点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．
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