Question

在平面直角坐标系xOy中，点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为

1

2

．
（1）求点Q的轨迹方程E；
（2）若点A，B分别是轨迹E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点M是直线l上不同于点B的任意一点，直线AM交轨迹E于点P．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为

1

2

，建立方程，化简可得点Q的轨迹方程E；
（2）（i）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k₁，k₂，再利用点P在椭圆上即可证明；
（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．

解答： （1）解：设Q（x，y），则
∵点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为

1

2

，
∴

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，
化简可得点Q的轨迹方程E：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）（ⅰ）证明：设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
则直线AP的方程为：y=

y0

x0+2

（x+2）
令x=2得M（2，

4y0

x0+2

）
∴k₁=

2y0

x0+2

，
∵k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

2y02

x02-4

，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴k₁k₂═-

3

2

为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为k2=

y1

x1-2

，直线m的斜率为km=

2-x1

y1

，
则直线m的方程为y-y0=

2-x1

y1

(x-2)，
∴y=

2-x1

y1

（x-2）+y₀=

2-x1

y1

x-

2(2-x1)

y1

+

4y1

x1+2

=

2-x1

y1

（x+1），
∴直线m过定点（-1，0）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线的斜率的计算，熟练掌握斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．