Question

20．已知函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若f（x）在x=1处与直线$y=-\frac{1}{2}$相切．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的极值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义列方程组解出；
（2）判断f（x）的单调性，根据单调性得出极值．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-2bx．
∵函数f（x）在x=1处与直线$y=-\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{f^'}（1）=0}\\{f（1）=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a-2b=0}\\{-b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$．
（2）由（1）得：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，定义域为（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$，令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．
∴f（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上单调递增，在（1，e）上单调递减，
∴f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的极大值为f（1）=-$\frac{1}{2}$．无极小值．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，属于基础题．