Question

10．（1）画出f（x）=x³-6x²+9x的草图．
（2）当方程x³-6x²+9x+a=0有个2实根时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数得到f′（x）=3（x-1）（x-3），根据导数符号便可判断f（x）的单调性，并判断f（x）过原点，f（1）=4，f（3）=0，这样便可画出f（x）的草图；
（2）可设g（x）=x³-6x²+9x+a，从而g（x）是由f（x）向上或向下平移|a|个单位得到，这样根据题意即可得出g（x）有两个零点，根据上面画出的草图便可观察出a的取值，从而得出a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
∴x＜1，或x＞3时，f′（x）＞0，1＜x＜3时，f′（x）＜0；
即f（x）在（-∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0；
∴f（x）的草图如下：

（2）设g（x）=x³-6x²+9x+a，则g（x）是f（x）沿y轴向上或向下平移|a|个单位得到；
∵方程x³-6x²+9x+a=0有2个实根；
∴g（x）有两个零点；
根据上面的草图得，a=0，或a=-4；
∴a的取值范围为{-4，0}．

点评 考查基本初等函数的求导，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性及极值点的坐标画函数草图的方法，函数图象沿y轴方向上的平移变换，以及函数零点的定义，数形结合解题的方法．