Question

2．已知a∈R．命题p：函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-2x+a}$的定义域为实数集R，命题q：函数g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为正实数集的子集．若“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：若函数f（x）=$\sqrt{{x^2}-2x+a}$的定义域为实数集R，
则△=4-4a≤0，解得：a≥1，
故p为真时：a≥1；
-a＜g（x）≤4-a，
而g（x）=2^x-a（x≤2）的值域为正实数集的子集，
即（-a，4-a）⊆（0，+∞），
则4-a＞0且-a≥0，
故q为真时：a≤0，
若“p∨q”是真命题，且“p∧q”是假命题，
则p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a≤0}\end{array}\right.$，
故a≥1或a≤0．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数以及指数函数的性质，是一道基础题．