Question

20．设函数f（x）=e^x-ax+a．
（1）若f（x）的图象与x轴有2个交点，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=3ax²-ax+2+a，若f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合题意得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立?F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，求出F′（x）=e^x-e^-x-6ax，设h（x）=（F（x）′）′=e^x+e^-x-6a，根据函数的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，则函数f（x）是单调增函数，这与题设矛盾，
所以a＞0，令f′（x）=0，则x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
当x＞lna时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数；
于是当x=lna时，f（x）取得极小值；
因为函数f（x）=e^x-ax+a，（a∈R）的图象与x轴交于两点，
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{f（lna）＜0}\end{array}\right.$⇒a＞e²，
综上所述：a∈（e²，+∞）为所求取值范围．
（2）设F（x）=f（x）+e^-x-g（x）=e^x+e^-x-3ax²-2，
∵F（-x）=F（x）⇒F（x）是偶函数，
∴f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立
?F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
F′（x）=e^x-e^-x-6ax，
设h（x）=（F（x）′）′=e^x+e^-x-6a，
h′（x）=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$≥0（x≥0），
∴h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，h（x）≥h（0）=2-6a，
①当2-6a≥0?a≤$\frac{1}{3}$时，
h（x）≥h（0）=2-6a≥0⇒F′（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴F′（x）≥F′（0）=0，F（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，
∴F（x）≥F（0）=0对x∈[0，+∞）恒成立，
②当2-6a＜0?a＞$\frac{1}{3}$时，h（0）=2-6a＜0，
∵h（x）在x∈[0，+∞）上单调递增，又h（ln6a）=$\frac{1}{6a}$＞0，
故?x₀∈（0，+∞），使h（x₀）=0，
当x∈（0，x₀）时，h（x）＜0?F′（x）在（0，x₀）单调递减
⇒F′（x）＜0，
当x∈（0，x₀）时，F（x）单调递减，此时，
F（x）≥0对x∈[0，+∞）不恒成立，
综上所述：当a≤$\frac{1}{3}$时，F（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
即f（x）+e^-x≥g（x）对x∈R恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．