题目内容
15．近几年来，我国地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动．预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的．（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；
（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数X的分布列；
（3）用η表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数f（x）=x2-ηx-1在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率．
分析 （1）先求出未来一周5天都组织集体活动的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有一天停止组织集体活动的概率．
（2）由题意X的取值是0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出不需要停止组织集体活动的天数X的分布列．
（3）由已知先求出η=3或η=4，由此能求出事件A发生的概率．
解答 解：（1）未来一周5天都组织集体活动的概率：
P=（$\frac{1}{2}$）3（$\frac{1}{5}$）2=$\frac{1}{200}$，
∴至少有一天停止组织集体活动的概率是：1-P=$\frac{199}{200}$．
（2）由题意X的取值是0，1，2，3，4，5，
P（X=1）=（$\frac{1}{2}$）3×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}+{C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{73}{200}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}+（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{43}{200}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{11}{200}$，
P（X=5）=$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{1}{200}$，
∴不需要停止组织集体活动的天数X的分布列是：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{2}{25}$ | $\frac{7}{25}$ | $\frac{73}{200}$ | $\frac{43}{200}$ | $\frac{11}{200}$ | $\frac{1}{200}$ |
则f（3）f（5）＜0，∴$\frac{8}{3}＜$η＜$\frac{24}{5}$，
∴η=3或η=4，
∴事件A发生的概率P（A）=[${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}×{C}_{2}^{1}×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$+$（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{5}）^{2}$]+[（$\frac{1}{2}$）3×${C}_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{4}{5}）^{2}$]=$\frac{129}{200}$．
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、对立事件概率计算公式的合理运用．
| A． | $\frac{6}{7}$ | B． | $\frac{5}{7}$ | C． | $\frac{3}{7}$ | D． | $\frac{1}{7}$ |
