Question

5．已知m∈R复数z=（2+i）m²-m（1-i）-（1+2i）（其中i为虚数单位）．
（Ⅰ）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 z=（2m²-m-1）+（m²+m-2）i，
（1）利用纯虚数的定义，由$\left\{{\begin{array}{l}{2{m^2}-m-1=0}\\{{m^2}+m-2≠0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（2）利用复数的几何意义，由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{2{m^2}-m-1＞0}\\{{m^2}+m-2＜0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：z=（2m²-m-1）+（m²+m-2）i，
（1）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{2{m^2}-m-1=0}\\{{m^2}+m-2≠0}\end{array}}\right.$，
解得$m=-\frac{1}{2}$．∴$m=-\frac{1}{2}$时，复数z为纯虚数．
（2）由题意得$\left\{{\begin{array}{l}{2{m^2}-m-1＞0}\\{{m^2}+m-2＜0}\end{array}}\right.$，
解得$-2＜m＜-\frac{1}{2}$，
∴$-2＜m＜-\frac{1}{2}$时，复数z对应的点位于第四象限．

点评 本题考查了复数的有关知识、不等式的解法、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．