Question

16．已知直线l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）与坐标轴围成的面积为a_n，则数列{a_n}的前10项和S₁₀为$\frac{5}{11}$．

Answer 1

分析 直线l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）与坐标轴的交点为：$（\frac{1}{n}，0）$，$（0，\frac{1}{n+1}）$．可得直线l与坐标轴围成的面积为a_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{n}•\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：直线l：nx+（n+1）y=1（n∈N^*）与坐标轴的交点为：$（\frac{1}{n}，0）$，$（0，\frac{1}{n+1}）$．
∴直线l与坐标轴围成的面积为a_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{n}•\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
则数列{a_n}的前10项和S₁₀=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{10}-\frac{1}{11}）]$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{11}）$
=$\frac{5}{11}$．
故答案为：$\frac{5}{11}$．

点评 本题考查了裂项求和方法、直线方程与坐标轴的交点、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．