Question

如图，已知离心率为

3

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线i交椭圆C于不同的两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）记直线MB、MA与x轴的交点分别为P、Q，若MP斜率为k₁，MQ斜率为k₂，求k₁+k₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a²=b²+c²列方程组可求a²，b²，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k₁、k₂分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k₁+k₂仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由题意得：

c a = 3 2 …① a2=b2+c2…② 4 a2 + 1 b2 =1…③

，
把①代入②得：a²=4b²④．
联立③④得：a²=8，b²=2．
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）∵M（2，1），∴k_OM=

1

2

又∵直线l∥OM，可设l：y=

1

2

x+m，将式子代入椭圆C得：x²+4（

1

2

x+m）²-8=0，
整理得：x²+2mx+2m²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．
设直线MA、MB的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x2-2

．
事实上，k₁+k₂=

1 2 x1+m-1

x1-2

+

1 2 x2+m-1

x2-2

=

1 2 (x1-2)+m

x1-2

+

1 2 (x2-2)+m

x2-2

=1+m（

1

x1-2

+

1

x2-2

）
=1+m•

x1+x2-4

x1 x   2 -2(x1+x2)+4

=1+m•

-2m-4

2m2-4-2(-2m)+4

=1-

2m2+4m

2m2+4m

=0．
k₁+k₂的值为0．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．