Question

16．若定义在R上的函数f（x）当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f（-x）=f（x），则称f（x）为类偶函数，则下列函数中为类偶函数的是（　　）

• A． f（x）=cosx
• B． f（x）=sinx
• C． f（x）=x²-2x
• D． f（x）=x³-2x

Answer 1

分析 根据题意，依次分析选项，分析其中f（-x）=f（x）的解的情况，即可判定其是否满足类偶函数的定义，即可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）=cosx，f（-x）=cos（-x）=cosx，即f（-x）=f（x），在R上恒成立，不是类偶函数，不符合题意，
对于B、f（x）=sinx，f（-x）=sin（-x）=-sinx，若f（-x）=f（x），即-sinx=sinx，解可得x=kπ，则f（-x）=f（x）在R上有无穷个解，不是类偶函数，不符合题意；
对于C、f（x）=x²-2x，则f（-x）=x²+2x，若f（-x）=f（x），则x²-2x=x²+2x，解可得x=0，即f（-x）=f（x）存在一解x=0，不是类偶函数，不符合题意；
对于D：f（x）=x³-3x，由f（-x）=-x³+3x，令f（-x）-f（x）=2x³-6x=0，变形可得2x（x²-3）=0，当自变量x≠0时，存在两个x即x=±$\sqrt{3}$满足f（-x）=f（x），是类偶函数，符合题意；
故选：D．

点评 本题考查函数的，关键是理解题干中“类偶函数”的定义．