Question

11．在△ABC中，若对任意t∈R，恒有|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$|，则∠C=90°．

Answer 1

分析 利用向量共线的充要条件及向量的三角形运算法则得到$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$是以点A为起点以边BC上任意一点为终边的向量，得到三角形的边的关系|$\overrightarrow{AD}$|＞|AC|不管点D在哪里，恒成立，当且仅当两线垂直．

解答 解：如图，设t$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BD}$，
∴ $\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DA}$，
∴|$\overrightarrow{AD}$|≥|AC|，
由于上式恒成立，
若∠ACB为锐角，则在线段BC上存在点D，使AD⊥BC
则|$\overrightarrow{AD}$|＜|AC|与已知矛盾
同理若∠ACB为钝角，也与已知矛盾
∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴∠C=90°．
故答案是：90°．

点评 本题考查向量平行的充要条件；向量的三角形运算法则及三角形的边的特殊关系．