Question

16．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax+b．
（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）=$\frac{m（x-1）}{x+1}$-f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（1）=1=$\frac{1}{2}$a，求出a的值即可；根据g（1）=0，求出b的值，从而求出g（x）的表达式；
（2）求出φ′（x），问题转化为则2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），求出m的范围即可．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1=$\frac{1}{2}$a，a=2．
又∵g（1）=0=$\frac{1}{2}$a+b，∴b=-1，∴g（x）=x-1．
（2）φ（x）=$\frac{m（x-1?}{x+1}$-f（x）=$\frac{m（x-1?}{x+1}$-lnx在[1，+∞）上是减函数，
∴φ′（x）=$\frac{-x2+?2m-2?x-1}{x（x+1?2）$≤0在[1，+∞）上恒成立．
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m-2≤x+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞），
∵x+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），∴2m-2≤2，m≤2．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，导数的应用，是一道中档题．