Question

20．已知抛物线x²=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）为抛物线上的两个动点，其中y₁≠y₂且y₁+y₂=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，抛物线x²=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0，设P的坐标，求函数的导函数在P点斜率为1，求解P的坐标值．
（Ⅱ）由题意，采用设而不求的思想，设A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）为抛物线上的两个动点，已知y₁+y₂=4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，可以利用中点坐标公式．求解出直线方程，与抛物线组成方程组，求其中点坐标范围．利用弦长公式求|AB|的长度，再求C点到直线AB的距离最大值，从而求解△ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设点$P（{x_0}，\frac{x_0^2}{2p}）$，由x²=2py得$y=\frac{x^2}{2p}$，求导$y\;'=\frac{x}{p}$，
抛物线x²=2py上点P处的切线方程为x-y-1=0，
∴直线PQ的斜率为1，所以$\frac{x_0}{p}=1$且${x_0}-\frac{{{x_0}^2}}{2p}-1=0$，
解得p=2，
所以：抛物线的方程为x²=4y．  
（Ⅱ）设线段AB中点M（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，{y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，${k_{AB}}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{\frac{{{x_2}^2}}{4}-\frac{{{x_1}^2}}{4}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{1}{4}（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{x_0}{2}$，
∴直线l的方程为$y-2=-\frac{2}{x_0}（x-{x_0}）$，
即2x+x₀（-4+y）=0，∴l过定点（0，4）．即C的坐标为（0，4）．
联立$\left\{\begin{array}{l}AB：y-2=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）\\{x^2}=4y\end{array}\right.⇒{x^2}-2x{x_0}+2x_0^2-8=0$
得$△=4x_0^2-4（2x_0^2-8）＞0⇒-2\sqrt{2}＜{x_0}＜2\sqrt{2}$，|AB|=$\sqrt{1+\frac{{{x_0}^2}}{4}}|{{x_1}-{x_2}}|$=$\sqrt{（1+\frac{{{x_0}^2}}{4}）（{32-4x_0^2}）}=\sqrt{（4+{x_0}^2）（{8-x_0^2}）}$，
设C（0，4）到AB的距离$d=|{CM}|=\sqrt{x_0^2+4}$，∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{（4+{x_0}^2{）^2}（{8-x_0^2}）}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}（{x_0}^2+4）（{x_0^2+4}）（16-2x_0^2）}≤\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}{{（\frac{24}{3}）}^3}}=8$．
当且仅当$x_0^2+4=16-2x_0^2$，即x₀=±2时取等号，
∴S_△ABC的最大值为8．

点评 本题考查了导数的几何意义，直线与抛物线相交问题，弦长问题、“点差法”、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．